[EN]그린정리 ~ 발산 스토크 khan academy

www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-theorem-and-stokes-theorem

Green's, Stokes', and the divergence theorems | Khan Academy

www.youtube.com/watch?v=yGTnjLLxQSM&feature=emb_title

질문1)

단순 영역인 경우에 대한 그린 정리의 증명 과정 중 질문이 있어 글 남깁니다. 

의문을 갖게 된 증명과정의 일부를 쓰고 질문을 쓰겠습니다.  

증명과정 중 곡선 C를 C1, C2, C3, C4 로 나눕니다. 

이때 C3의 방향이 오른쪽에서 왼쪽이므로 -C3의 방향은 왼쪽에서 오른쪽인 걸 알 수 있습니다. 
따라서 -C3의 매개변수 방정식을 a<x<b 로 쓰며 

　∫_c3 P(x,y)dx = - ∫_(-c3) P(x,y)dx = - ∫_(-c3) P(x,g_2(x))dx 가 됩니다. 

여기서 부터 질문입니다.

∫_c Pdx + Qdy 는 곡선적분입니다. 

따라서 방향에 대한 의미 없이 적분값을 구하면 되는데

 증명과정 중에 c_3에 대한 방향을 x축 증가방향으로 부호를 바꿔준후 적분을 계산합니다.

 마치 c_3의 방향이 이미 설정되어있엇다는 듯이요. 이유를 모르겟습니다. 

질문2)

교수님 안녕하세요 질문이 길어 같은 내용의 글을 파일 첨부합니다. 

단순영역에서의 그린 정리 증명과정 중 의문점이 있어 질문드립니다.

질문에 앞서 일단 x + g(y) = x + y + 4 인 경우 
g(y) 가 y+4 인게 분명합니다. 

여기서부터 의문점입니다. 

그린정리는 ∫ P dx + Q dy =  ∫∫ ( ∂Q/∂y - ∂P/∂y ) dA 입니다. 
 
그린 정리의 증명 과정 중 

∫ P dx = - ∫∫ ∂P/∂y dA 가 참임을 보임으로서 그린 정리를 증명하는데 

g(y)가 y+4 에 대응하는 것은  y+4가 y로만 이루어진 함수이기때문에 확실한데, 

∫ P dx 가  - ∫∫ ∂P/∂y dA 에 확실히 대응한다는 것을 어떻게 알 수 있나요?

만약 확실히 대응하는지 모르는 게 맞고

 증명과정이 단지
 ∫ P dx = - ∫∫ ∂P/∂y dA  and    ∫ Q dy = ∫∫ ∂Q/∂x dA  이니
 
좌변과 우변을 각각 합한 값이 서로 같으니 그린 정리는 성립한다. 

이런 결론인것인가요?

쉽게 말하면 

x+y= a+b 인데,
x=a이고
y=b이니 
x+y= a+b이다. 와 같은 사고 인가요?